$(2x-1{)}^2+(3y+1{)}^2=36$ উপবৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?

একটি উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো \(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\), যেখানে \((h, k)\) হলো উপবৃত্তের কেন্দ্র।

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণটি হলো:

\((2x-1)^2 + (3y+1)^2 = 36\)

এই সমীকরণটিকে আদর্শ রূপে আনতে হলে, ব্র্যাকেটের ভেতরের \(x\) এবং \(y\) এর সহগগুলোকে ব্র্যাকেটের বাইরে আনতে হবে এবং ডানপাশের ধ্রুবকটিকে 1 বানাতে হবে।

প্রথম পদ \((2x-1)^2\) কে লেখা যায়:

\((2(x-\frac{1}{2}))^2 = 2^2(x-\frac{1}{2})^2 = 4(x-\frac{1}{2})^2\)

দ্বিতীয় পদ \((3y+1)^2\) কে লেখা যায়:

\((3(y+\frac{1}{3}))^2 = 3^2(y+\frac{1}{3})^2 = 9(y+\frac{1}{3})^2\)

এখন, মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই:

\(4(x-\frac{1}{2})^2 + 9(y+\frac{1}{3})^2 = 36\)

সমীকরণের উভয় পাশকে 36 দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\frac{4(x-\frac{1}{2})^2}{36} + \frac{9(y+\frac{1}{3})^2}{36} = \frac{36}{36}\)

\(\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{9} + \frac{(y+\frac{1}{3})^2}{4} = 1\)

এই সমীকরণটিকে আদর্শ রূপ \(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\) এর সাথে তুলনা করলে, আমরা পাই:

\(h = \frac{1}{2}\)

\(k = -\frac{1}{3}\) (কারণ \(y+\frac{1}{3}\) কে \(y-(-\frac{1}{3})\) আকারে লেখা যায়)

সুতরাং, উপবৃত্তের কেন্দ্র হলো \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\right)\)।